Butterworth filtresi: birinci derece ve ikinci derece düşük geçişli butterworth filtresi

Elektrikli filtrelerin birçok uygulaması vardır ve birçok sinyal işleme devresinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Belirli bir girişin tam spektrumunda seçilen frekansın sinyallerini seçmek veya ortadan kaldırmak için kullanılır. Böylece filtre, seçilen frekansın sinyallerinin içinden geçmesine izin vermek veya içinden geçen seçilen frekansın sinyallerini ortadan kaldırmak için kullanılır.

Şu anda, mevcut birçok filtre türü vardır ve bunlar birçok yönden farklılaştırılmıştır. Ve önceki eğitimlerde birçok filtreyi ele aldık, ancak en popüler farklılaştırma şuna dayanmaktadır:

Analog veya dijital
Aktif veya pasif
Ses veya radyo frekansı
Frekans seçimi

Analog veya Dijital Filtreler

Çevre tarafından üretilen sinyallerin doğası gereği analog, dijital devrelerde işlenen sinyallerin ise doğası gereği dijital olduğunu biliyoruz. İstenilen sonucu elde etmek için analog ve dijital sinyaller için ilgili filtreleri kullanmalıyız. Bu nedenle, analog sinyalleri işlerken analog filtreler kullanmalı ve dijital sinyalleri işlerken dijital filtreler kullanmalıyız.

Aktif veya Pasif Filtreler

Filtreler ayrıca, filtreler tasarlanırken kullanılan bileşenlere göre bölünmüştür. Filtrenin tasarımı tamamen pasif bileşenlere (direnç, kapasitör ve indüktör gibi) dayanıyorsa, filtreye pasif filtre denir. Öte yandan bir devre tasarlarken aktif bir bileşen (op-amp, voltaj kaynağı, akım kaynağı) kullanırsak filtreye aktif filtre denir.

Daha popüler bir şekilde , birçok avantajı olduğu için aktif bir filtre pasif olana tercih edilir. Bu avantajlardan birkaçı aşağıda belirtilmiştir:

Yükleme sorunu yok: Aktif bir devrede çok yüksek giriş empedansına ve düşük çıkış empedansına sahip bir op-amp kullandığımızı biliyoruz. Bu durumda, bir devreye aktif bir filtre bağladığımızda, op-amp tarafından çekilen akım, çok yüksek giriş empedansına sahip olduğu ve dolayısıyla filtre bağlandığında devre hiçbir yük yaşamadığı için çok önemsiz olacaktır.
Ayar esnekliği kazanın: Pasif filtrelerde, böyle bir görevi gerçekleştirmek için belirli bileşenler olmayacağından, kazanç veya sinyal amplifikasyonu mümkün değildir. Öte yandan aktif bir filtrede, giriş sinyallerine yüksek kazanç veya sinyal amplifikasyonu sağlayabilen op-amp var.
Frekans ayarlama esnekliği: Aktif filtreler, pasif filtrelere kıyasla kesme frekansını ayarlarken daha yüksek esnekliğe sahiptir.

Ses veya Radyo Frekansına dayalı filtreler

Filtre tasarımında kullanılan bileşenler, filtre uygulamasına veya kurulumun kullanıldığı yere göre değişir. Örneğin, RC filtreleri ses veya düşük frekans uygulamaları için kullanılırken, LC filtreleri radyo veya yüksek frekans uygulamaları için kullanılır.

Frekans Seçimine dayalı filtreler

Filtreler ayrıca filtreden geçen sinyallere göre bölünür.

Alçak geçiş filtresi:

Seçilen frekansların üzerindeki tüm sinyaller zayıflatılır. Aktif Düşük Geçişli Filtre ve Pasif Düşük Geçişli Filtre olmak üzere iki tiptedir. Alçak geçiren filtrenin frekans tepkisi aşağıda gösterilmiştir. Buradaki noktalı grafik, ideal düşük geçişli filtre grafiğidir ve temiz bir grafik, pratik bir devrenin gerçek tepkisidir. Bunun nedeni, doğrusal bir ağın sürekli olmayan bir sinyal üretememesidir. Şekilde gösterildiği gibi, sinyaller kesme frekansına fH ulaştıktan sonra zayıflama yaşarlar ve belirli bir yüksek frekanstan sonra girişte verilen sinyaller tamamen bloke olur.

Yüksek geçiren filtre:

Seçilen frekansların üzerindeki tüm sinyaller çıkışta görünür ve bu frekansın altındaki bir sinyal engellenir. Aktif Yüksek Geçişli Filtre ve Pasif Yüksek Geçişli Filtre olmak üzere iki türdendir. Bir yüksek geçiş filtresinin frekans tepkisi aşağıda gösterilmiştir. Burada noktalı bir grafik, ideal yüksek geçişli filtre grafiğidir ve temiz bir grafik, pratik bir devrenin gerçek tepkisidir. Bunun nedeni, doğrusal bir ağın sürekli olmayan bir sinyal üretememesidir. Şekilde gösterildiği gibi, sinyaller kesme frekansından fL daha yüksek bir frekansa sahip olana kadar zayıflama yaşarlar.

Bant geçiren filtre:

Bu filtrede, yalnızca seçilen frekans aralığındaki sinyallerin çıkışta görünmesine izin verilirken, diğer herhangi bir frekansın sinyalleri engellenir. Bant geçiren filtrenin frekans yanıtı aşağıda gösterilmiştir. Buradaki noktalı grafik, ideal bant geçiren filtre grafiğidir ve temiz bir grafik, pratik bir devrenin gerçek yanıtıdır. Şekilde gösterildiği gibi, fL'den fH'ye frekans aralığındaki sinyallerin filtreden geçmesine izin verilirken, diğer frekans sinyalleri zayıflamayı deneyimlemektedir. Bant Geçiş Filtresi hakkında daha fazla bilgiyi buradan edinebilirsiniz.

Bant reddetme filtresi:

Bant reddetme filtresi işlevi, bant geçiren filtrenin tam tersidir. Girişte sağlanan, seçilen bant aralığında frekans değerine sahip tüm frekans sinyalleri, filtre tarafından engellenirken, diğer herhangi bir frekansın sinyallerinin çıkışta görünmesine izin verilir.

Tüm geçiş filtresi:

Herhangi bir frekansın sinyallerinin, bir faz kayması yaşamaları dışında bu filtreden geçmesine izin verilir.

Tasarımcı, uygulamaya ve maliyete bağlı olarak çeşitli farklı tipler arasından uygun filtreyi seçebilir.

Ancak burada çıktı grafiklerinde istenen ve gerçek sonuçların tam olarak aynı olmadığını görebilirsiniz. Bu hataya birçok uygulamada izin verilse de, bazen çıktı grafiği ideal filtreye daha fazla eğilimli olan daha doğru bir filtreye ihtiyacımız vardır. Bu ideale yakın yanıt, özel tasarım teknikleri, hassas bileşenler ve yüksek hızlı op-amp'ler kullanılarak elde edilebilir.

Butterworth, Caur ve Chebyshev, ideale yakın bir yanıt eğrisi sağlayabilen en yaygın kullanılan filtrelerden bazılarıdır. Bunlarda, Butterworth filtresini burada üçünden en popüler olanı olarak tartışacağız.

Butterworth filtresinin temel özellikleri şunlardır:

RC (Direnç, Kapasitör) ve Op-amp (operasyonel amplifikatör) tabanlı bir filtredir
Aktif bir filtredir, böylece gerektiğinde kazanç ayarlanabilir
Butterworth'ün temel özelliği, düz bir geçiş bandına ve düz durdurma bandına sahip olmasıdır. Bu, genellikle 'düz-yassı filtre' olarak adlandırılmasının sebebidir.

Şimdi daha iyi bir anlayış için Low Pass Butterworth Filtresinin devre modelini tartışalım.

Birinci Dereceden Düşük Geçişli Butterworth Filtresi

Şekil, birinci dereceden düşük geçişli Tereyağı değer filtresinin devre modelini göstermektedir.

Devrede var:

Doğası gereği analog olan bir giriş voltajı sinyali olarak voltaj 'Vin'.
Voltaj 'Vo', işlemsel yükselticinin çıkış voltajıdır.
Dirençler 'RF' ve 'R1', işlemsel yükselticinin negatif geri besleme dirençleridir.
Devrede tek bir RC ağı (kırmızı kare ile işaretlenmiş) vardır, bu nedenle filtre birinci dereceden bir düşük geçiş filtresidir.
'RL', op-amp çıkışına bağlanan yük direncidir.

Voltaj bölücü kuralını 'V1' noktasında kullanırsak, kondansatör üzerinden voltajı şu şekilde alabiliriz:

V ₁ = V _de burada -jXc = 1 / 2ᴫfc

Bu denklemi değiştirdikten sonra aşağıdaki gibi bir şeye sahip olacağız

V ₁ = Vi _n / (1 + j2ᴫfRC)

Şimdi burada op-amp negatif geri besleme konfigürasyonunda kullanılır ve böyle bir durumda çıkış voltajı denklemi şu şekilde verilir:

V ₀ = (1 + R _F / R ₁) V _1.

Bu standart bir formüldür ve daha fazla ayrıntı için op-amp devrelerine bakabilirsiniz.

V1 denklemini Vo'ya gönderirsek, sahip olacağız, V0 = (1 + R _F / R ₁)

Bu denklemi yeniden yazdıktan sonra sahip olabiliriz, V ₀ / V _girişi = A _F / (1 + j (f / f _L))

Bu denklemde,

V ₀ / V _in = frekansın bir fonksiyonu olarak filtrenin kazancı
AF = (1 + R _F / R ₁) = filtrenin geçiş bandı kazancı
f = giriş sinyalinin frekansı
f _L = 1 / 2ᴫRC = filtrenin kesme frekansı. Devrenin kesme frekansını seçmek için uygun direnç ve kapasitör değerlerini seçmek için bu denklemi kullanabiliriz.

Yukarıdaki denklemi kutupsal bir forma çevirirsek,

Giriş sinyalinin frekansındaki değişimle kazanç büyüklüğündeki değişimi gözlemlemek için bu denklemi kullanabiliriz.

Örnek 1: f < L . Öyleyse, giriş frekansının filtrenin kesme frekansından çok daha düşük olduğunu düşünelim o zaman,

Bu nedenle, giriş frekansı filtre kesme frekansından çok daha düşük olduğunda, kazanç büyüklüğü yaklaşık olarak op-amp'in döngü kazancına eşittir.

Durum 2: Rf = f _L. Giriş frekansı, filtrenin kesme frekansına eşitse,

Dolayısıyla, giriş frekansı filtre kesme frekansına eşit olduğunda, kazanç büyüklüğü op-amp'in döngü kazancının 0.707 katıdır.

Case3: f> f _L. Giriş frekansı filtrenin kesme frekansından yüksekse,

Modelden görebileceğiniz gibi, filtrenin kazancı, giriş sinyali frekansı kesme frekansından daha az olana kadar op-amp kazancı ile aynı olacaktır. Ancak, giriş sinyali frekansı kesme frekansına ulaştığında, ikinci durumda görüldüğü gibi kazanç marjinal olarak azalır. Ve giriş sinyali frekansı daha da arttığında, kazanç sıfıra ulaşana kadar kademeli olarak azalır. Bu nedenle, düşük geçişli Butterworth filtresi, giriş sinyalinin frekansı kesme frekansından daha düşük olana kadar giriş sinyalinin çıkışta görünmesine izin verir.

Yukarıdaki devre için frekans yanıt grafiğini çizmiş olsaydık,

Grafikte görüldüğü gibi, giriş sinyalinin frekansı kesme frekansı değerini geçene kadar kazanç doğrusal olacaktır ve bir kez gerçekleştiğinde kazanç, çıkış voltajı değeri de önemli ölçüde azalır.

İkinci Dereceden Butterworth Düşük Geçişli Filtre

Şekil, 2. dereceden Butterworth alçak geçiren filtrenin devre modelini göstermektedir.

Devrede var:

Doğası gereği analog olan bir giriş voltajı sinyali olarak voltaj 'Vin'.
Voltaj 'Vo', işlemsel yükselticinin çıkış voltajıdır.
Dirençler 'RF' ve 'R1', işlemsel yükselticinin negatif geri besleme dirençleridir.
Devrede çift RC ağı (kırmızı kare ile işaretlenmiş) vardır, dolayısıyla filtre ikinci dereceden bir düşük geçiş filtresidir.
'RL', op-amp çıkışına bağlanan yük direncidir.

İkinci Dereceden Düşük Geçişli Butterworth Filtre Türetimi

İkinci dereceden filtreler önemlidir çünkü yüksek dereceden filtreler onları kullanarak tasarlanır. Kesim frekansı ise ikinci dereceden filtre kazancı, R1 ve RF tarafından ayarlanır f _H R tarafından belirlenir ₂, R ₃, C ₂ ve Cı- ₃ değerleri. Kesme frekansı için türetme aşağıdaki şekilde verilmiştir:

f _{, H} = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ Cı- ₂ Cı- ₃) ^1/2

Bu devre için voltaj kazanım denklemi de daha önce olduğu gibi benzer şekilde bulunabilir ve bu denklem aşağıda verilmiştir.

Bu denklemde,

V ₀ / V _in = frekansın bir fonksiyonu olarak filtrenin kazancı
A _F = (1 + R _F / R ₁) filtrenin geçiş bandı kazancı
f = giriş sinyalinin frekansı
f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2 = filtrenin kesme frekansı. Devrenin kesme frekansını seçmek için uygun direnç ve kapasitör değerlerini seçmek için bu denklemi kullanabiliriz. Ayrıca RC ağında aynı direnci ve kapasitörü seçersek denklem şu olur:

Giriş sinyalinin frekansındaki karşılık gelen değişiklikle kazanç büyüklüğündeki değişimi gözlemlemek için voltaj kazanç denklemini yapabiliriz.

Örnek 1: f < H . Öyleyse, giriş frekansının filtrenin kesme frekansından çok daha düşük olduğunu düşünelim o zaman,

Bu nedenle, giriş frekansı filtre kesme frekansından çok daha düşük olduğunda, kazanç büyüklüğü yaklaşık olarak op-amp'in döngü kazancına eşittir.

Durum 2: f f = _H. Giriş frekansı, filtrenin kesme frekansına eşitse,

Dolayısıyla, giriş frekansı filtre kesme frekansına eşit olduğunda, kazanç büyüklüğü op-amp'in döngü kazancının 0.707 katıdır.

Case3: a> m _{, H}. Giriş frekansı, filtrenin kesme frekansından gerçekten yüksekse,

Birinci dereceden filtreye benzer şekilde, filtrenin kazancı, giriş sinyali frekansı kesme frekansından daha az olana kadar op-amp kazancı ile aynı olacaktır. Ancak, giriş sinyali frekansı kesme frekansına ulaştığında, ikinci durumda görüldüğü gibi kazanç marjinal olarak azalır. Ve giriş sinyali frekansı daha da arttığında, kazanç sıfıra ulaşana kadar kademeli olarak azalır. Bu nedenle, düşük geçişli Butterworth filtresi, giriş sinyalinin frekansı kesme frekansından daha düşük olana kadar giriş sinyalinin çıkışta görünmesine izin verir.

Biz ulaşılması durumunda frekans tepkisi grafik Elimizdeki Yukarıdaki devresi için,

Şimdi merak olabilir birinci dereceden filtre ve ikinci dereceden filtrenin arasındaki fark nerede ? Cevap grafikte, eğer dikkatlice gözlemlerseniz, giriş sinyali frekansı kesim frekansını geçtikten sonra grafiğin keskin bir düşüşe geçtiğini ve bu düşüşün birinci sıraya kıyasla ikinci sırada daha belirgin olduğunu görebilirsiniz. Bu dik eğimle, ikinci dereceden Butterworth filtresi, tek sıralı Butterworth filtresine kıyasla ideal filtre grafiğine doğru daha eğimli olacaktır.

Bu, Üçüncü Dereceden Butterworth Alçak Geçiren Filtre, Dördüncü Dereceden Butterworth Alçak Geçiren Filtre ve benzerleri için aynıdır. Filtrenin sırası ne kadar yüksekse, kazanç grafiği ideal bir filtre grafiğine o kadar eğilir. Daha yüksek dereceli Butterworth filtreleri için kazanç grafiğini çizersek, buna benzer bir şeye sahip oluruz,

Grafikte, yeşil eğri ideal filtre eğrisini temsil eder ve Butterworth filtresinin sırasının kazanç grafiğinin ideal eğriye doğru daha fazla eğildiğini görebilirsiniz. Bu yüzden , Butterworth filtresinin sırası ne kadar yüksek olursa, kazanç eğrisi o kadar ideal olur. Bununla birlikte, sıradaki artışla filtrenin doğruluğu azaldığından daha yüksek dereceli bir filtreyi kolayca seçemezsiniz. Bu nedenle, gerekli doğruluğa dikkat ederken bir filtrenin sırasını seçmek en iyisidir.

İkinci Dereceden Düşük Geçişli Butterworth Filtre Türetme -Aliter

Makalenin yayımlanmasının ardından emekli elektrik mühendisi Keith Vogel'den bir mail aldık. ^2. dereceden bir alçak geçiren filtrenin tanımında geniş çapta kamuoyuna duyurulan bir hata fark etmiş ve aşağıdaki gibi düzeltmek için açıklamasını sunmuştur.

O yüzden ben de doğru yapmama izin ver.:

Ve sonra -6db kesme frekansının denklem tarafından tanımlandığını söyleyin:

f _c = 1 / (

)

Ancak, bu kesinlikle doğru değil! Bana inanmanı sağlayalım. R1 = R2 = 160 ve C1 = C2 = 100nF (0.1uF) olan bir devre yapalım. Denklem göz önüne alındığında, -6db'lik bir frekansa sahip olmalıyız:

f _c = 1 / (

) = 1 / (2

* 160 * 100 * ^10-9) ~ 9,947kHz

Devam edelim ve devreyi simüle edelim ve -6db noktasının nerede olduğunu görelim:

Oh, 6.33kHz NOT 9.947kHz'e benzetiyor; ancak simülasyon YANLIŞ DEĞİL!

Bilginiz için -6db yerine -6.0206db kullandım çünkü 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 -6'dan biraz daha yakın bir sayı ve denklemlerimize daha doğru bir simüle frekans elde etmek için kullanmak istedim -6db'den biraz daha yakın bir şey. Gerçekten denklem ile özetlenen frekansını elde etmek isteseydim, 1 ila tampon gerekir ^st ve 2 ^nd filtre aşamalarında. Denklemimize daha doğru bir devre şöyle olacaktır:

Ve burada, hesapladığımız 9.947kHZ'ye çok daha yakın olan -6.0206db noktamızın 9.945kHz'e benzediğini görüyoruz. Umarım bir hata olduğuna inanıyorsunuz! Şimdi hatanın nasıl ortaya çıktığını ve bunun neden kötü bir mühendislik olduğunu konuşalım.

Çoğu açıklamaları 1 ile başlayacak ^st aşağıdaki gibi empedans ile, sıra düşük geçiş filtresi.

Ve basit bir aktarım işlevi elde edersiniz:

H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)

Sonra, ^2. sıralı filtre yapmak için bunlardan 2 tanesini bir araya getirirseniz şunu elde edeceğinizi söylüyorlar:

H (s) = H ₁ (s) * H ₂ (s).

H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1) olduğunda

Hesaplandığında fc = 1 / (2π√R1C1R2C2) denklemi ile sonuçlanır. İşte hata, H ₁ (s) 'in cevabı devrede H ₂ (s)' den bağımsız DEĞİLDİR, H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1) diyemezsiniz..

H empedans ₂ (ler) H tepkisini etkileyen ₁ (ler). Ve bu yüzden bu devre neden çalışıyor, çünkü opamp H ₂ (s) yi H ₁ (s) ' den izole ediyor !

Şimdi aşağıdaki devreyi analiz edeceğim. Orijinal devremizi düşünün:

Basit olması için, R1 = R2 ve C1 = C2 yapacağım, aksi takdirde matematik gerçekten işin içine girer. Ancak gerçek transfer fonksiyonunu türetebilmeli ve işimiz bittiğinde doğrulama için simülasyonlarımızla karşılaştırmalıyız.

(R + 1 / sC) ile paralel olarak Z ₁ = 1 / sC dersek devreyi şu şekilde yeniden çizebiliriz:

V ₁ / V _in = Z ₁ / (R + Z ₁) olduğunu biliyoruz; Z _1'in karmaşık bir empedans olabileceği durumlarda. Ve orijinal devremize geri dönersek, (R + 1 / sC) ile paralel olarak Z ₁ = 1 / sC görebiliriz.

Ayrıca Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1) yani H ₂ (s) olduğunu görebiliriz. Ancak H ₁ (s) çok daha karmaşıktır, Z ₁ / (R + Z ₁) olup burada Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC); ve 1 / (sRC + 1) DEĞİLDİR!

Şimdi devremizin matematiğini gözden geçirelim; R1 = R2 ve C1 = C2 özel durumu için.

Sahibiz:

V ₁ / V _giriş = Z ₁ / (R + Z ₁) Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) ² R + 2sC) Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1)

Ve sonunda

Vo / V _in = * = * = * = * = *

Burada şunu görebiliriz:

H ₁ (s) = (sRC + 1) / ((sCR) ² + 3sRC + 1)…

değil 1 / (sRC + 1) H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

Ve..

Vo / V _in = H ₁ (s) * H ₂ (s) = * = 1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1)

-6db noktasının (

/ 2) ² = 0,5

Ve transfer fonksiyonumuzun büyüklüğü 0,5 olduğunda, -6db frekansındayız.

Öyleyse bunun için çözelim:

-Vo / V _bölgesi = -1 / ((SRC) - ² + 3sRC + 1) - = 0.5

S = jꙍ olsun, bizde:

-1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) ²) + 3jꙍRC- = 2

Büyüklüğü bulmak için gerçek ve sanal terimlerin karesinin karekökünü alın.

sqrt (((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ²) = 2

her iki tarafın karesini alma:

((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ² = 4

Genişleyen:

1-2 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ + 9 (ꙍRC) ² = 4

1 + 7 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² + 1 = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² - 3 = 0

X = (ꙍRC) ^{2 olsun}

(x) ² + 7x - 3 = 0

X'i bulmak için ikinci dereceden denklemi kullanma