- 1. Gauss Elektrik Yasası
- 2. Gauss Manyetizma Yasası
- 3. Faraday'ın İndüksiyon Yasası
- 4. Ampere Yasası
Maxwell denklemleri, elektrik ve manyetik alanları ilişkilendiren bir dizi dört denklem oluşturan Elektromanyetik teorinin temelleridir. Maxwell denklemlerinin matematiksel temsilini listelemek yerine, bu makalede bu denklemlerin gerçek öneminin ne olduğuna odaklanacağız. Maxwell'in Birinci ve İkinci denklemi sırasıyla statik elektrik alanları ve statik manyetik alanlar ile ilgilidir. Maxwell'in Üçüncü ve Dördüncü denklemi, sırasıyla değişen manyetik alanlar ve değişen elektrik alanları ile ilgilidir.
Maxwell denklemleri şunlardır:
- Gauss Elektrik Yasası
- Gauss Manyetizma Yasası
- Faraday'ın İndüksiyon Yasası
- Ampere Yasası
1. Gauss Elektrik Yasası
Bu yasa, kapalı bir yüzeyden çıkan Elektrik Akısının, o yüzeyin çevrelediği toplam yük ile orantılı olduğunu belirtir. Gauss yasası statik elektrik alanıyla ilgilenir.
Pozitif bir nokta yükü Q düşünelim. Elektrik akı çizgilerinin pozitif yükten dışa doğru yönlendirildiğini biliyoruz.
Bize Şarj Q ile kapalı bir yüzey düşünelim kapalı İçinde. Alan Vektörü, yüzeyin yönünü temsil ettiği için her zaman Normal olarak seçilir. Elektrik alan vektörünün alan vektörüyle yaptığı açı θ olsun.
Elektrik Akısı ψ
İç çarpımı seçmemizin nedeni, normal alan vektörü ile temsil edilen yüzeyden ne kadar elektrik akısının geçtiğini hesaplamamız gerekmesidir.
Coulomb yasasından, bir nokta yükünden kaynaklanan Elektrik Alanının (E) Q / 4πε 0 r 2 olduğunu biliyoruz.
Küresel bir simetri düşünüldüğünde , Gauss yasasının İntegral formu şöyledir:
Bu nedenle Elektrik Akısı Ψ = Q kapalı / ε 0
Burada eklenen Q , yüzeydeki tüm yüklerin vektörel toplamını temsil eder. Yükü çevreleyen bölge herhangi bir şekilde olabilir, ancak Gauss yasasını uygulamak için simetrik ve düzgün yük dağılımına sahip bir Gauss yüzeyi seçmemiz gerekir. Gauss yüzeyi silindirik veya küresel veya bir düzlem olabilir.
Diferansiyel formunu elde etmek için Diverjans teoremini uygulamamız gerekir.
Yukarıdaki denklem, Gauss Yasası veya Maxwell denklemi I'in diferansiyel formudur.
Yukarıdaki denklemde, ρ, Hacim yükü yoğunluğunu temsil eder. Gauss yasasını bir çizgi yükü veya yüzey yükü dağılımı olan bir yüzeye uygulamak zorunda olduğumuzda, denklemi yük yoğunluğu ile temsil etmek daha uygundur.
Bu nedenle , bir Elektrik alanın kapalı bir yüzey üzerindeki Diverjansının, bunun içine aldığı yük miktarını (ρ) verdiği sonucuna varabiliriz. Bir vektör alanına diverjans uygulayarak, vektör alanı tarafından çevrelenen yüzeyin bir kaynak mı yoksa havuz mu olduğunu anlayabiliriz.
Yukarıda gösterildiği gibi pozitif yüklü bir küboid düşünelim. Kutudan (küboid) çıkan elektrik alanına diverjans uyguladığımızda, matematiksel ifadenin sonucu, bize düşünülen kutunun (küboid) hesaplanan elektrik alanı için bir kaynak görevi gördüğünü söyler. Sonuç negatifse, bize kutunun bir lavabo gibi davrandığını, yani kutunun içinde negatif bir yük içerdiğini söyler. Sapma Sıfır ise, içinde yük olmadığı anlamına gelir.
Buradan, elektrik tekellerinin var olduğu sonucuna varabiliriz.
2. Gauss Manyetizma Yasası
Manyetik akı çizgisinin dıştan kuzey kutbundan güney kutbuna aktığını biliyoruz.
Kalıcı bir mıknatıs nedeniyle manyetik akı çizgileri olduğu için, bununla ilişkili bir manyetik akı yoğunluğu (B) olacaktır. S1, S2, S3 veya S4 yüzeyine diverjans teoremini uyguladığımızda, seçilen yüzeye giren ve çıkan akı çizgilerinin sayısının aynı kaldığını görürüz. Bu nedenle, diverjans teoreminin sonucu Sıfırdır. S2 ve S4 yüzeyinde bile, uzaklaşma sıfırdır, bu da ne kuzey kutbunun ne de güney kutbunun elektrik yükleri gibi tek tek bir kaynak veya batma yapmadığı anlamına gelir. Akım taşıyan bir telden dolayı manyetik alanın (B) ıraksamasını uyguladığımızda bile, sıfır olduğu ortaya çıkıyor.
Gauss Manyetizma yasasının ayrılmaz formu:
Manyetizmanın Gauss yasasının diferansiyel formu:
Buradan, manyetik monopollerin var olmadığı sonucuna varabiliriz.
3. Faraday'ın İndüksiyon Yasası
Faraday yasası, bir bobini veya herhangi bir iletkeni bağlayan manyetik akıda (zamana göre değişen) bir değişiklik olduğunda, bobinde indüklenen bir EMF olacağını belirtir. Lenz, indüklenen EMF'nin kendisini üreten manyetik akıdaki değişime karşı çıkacak bir yönde olacağını belirtti.
Yukarıdaki çizimde, değişen bir manyetik alanın etkisi altına bir iletken plaka veya bir iletken getirildiğinde, içinde dolaşım akımı indüklenir. Akım, ürettiği manyetik alanın kendisini yaratan değişen manyetik alana karşı çıkacağı bir yönde indüklenir. Bu örnekten, manyetik alanın değişmesinin veya değiştirilmesinin, dolaşan bir elektrik alanı oluşturduğu açıktır.
Faraday yasasına göre, emf = - dϕ / dt
Biz biliyoruz ki, ϕ = kapalı yüzey ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
Elektrik Alanı E = V / d
V = ʃ E.dl
Elektrik alanı yüzeye (kıvrılma) göre değiştiğinden, potansiyel bir fark V vardır.
Bu nedenle Maxwell'in dördüncü denkleminin integral formu,
Stoke teoremini uygulayarak,
Stoke teoremini uygulamanın nedeni, kapalı bir yüzey üzerinde dönen bir alanın rotasyonunu aldığımızda, vektörün iç rotasyonel bileşenlerinin birbirini iptal etmesi ve bunun da kapalı yol boyunca vektör alanının değerlendirilmesiyle sonuçlanmasıdır.
Dolayısıyla bunu yazabiliriz,
Maxwell denkleminin diferansiyel formu
Yukarıdaki ifadeden, zamana göre değişen bir manyetik alanın dolaşan bir Elektrik alanı ürettiği açıktır.
Not: Elektrostatikte, bir Elektrik alanının kıvrılması sıfırdır çünkü yükten radyal olarak dışarıya doğru çıkar ve onunla ilişkili dönen bir bileşen yoktur.
4. Ampere Yasası
Ampere yasası, bir elektrik akımı bir telin içinden geçtiğinde, etrafında bir manyetik alan oluşturduğunu belirtir. Matematiksel olarak, kapalı bir döngü etrafındaki manyetik alanın çizgi integrali, etrafındaki toplam akımı verir.
ʃ B .dl = μ 0 I kapalı
Manyetik alan telin etrafında kıvrıldığından, Stoke teoremini Ampere yasasına uygulayabiliriz.
Bu nedenle denklem olur
Mevcut yoğunluğu J cinsinden ifade edebiliriz.
B = μ 0 H bu ilişkiyi kullanarak ifadeyi şöyle yazabiliriz:
Dönen bir vektör alanının rotasyoneline diverjans uyguladığımızda, sonuç sıfırdır. Bunun nedeni, kapalı yüzeyin bir kaynak veya batma görevi görmemesidir, yani yüzeye giren ve çıkan akı sayısı aynıdır. Bu matematiksel olarak şu şekilde temsil edilebilir:
Aşağıda gösterildiği gibi bir devreyi düşünelim.
Devreye bağlı bir kondansatör vardır. S1 bölgesine diverjans uyguladığımızda, sonuç bunun sıfır olmadığını gösterir. Matematiksel gösterimde,
Devrede bir akım akışı vardır ancak kapasitörde, plakalar boyunca değişen elektrik alanı nedeniyle yükler aktarılır. Yani fiziksel olarak akım içinden akmaz. Maxwell bu değişen elektrik akısını Yer Değiştirme Akımı (J D) olarak tanımladı. Ancak Maxwell, Faraday yasasının simetrisini göz önünde bulundurarak Yer Değiştirme Akımı (J D) terimini icat etti, yani, eğer zaman içinde değişen bir manyetik alan bir Elektrik alanı oluşturuyorsa, simetri ile, değişen elektrik alanı bir manyetik alan üretir.
S1 bölgesindeki manyetik alan yoğunluğunun (H) kıvrılması
Maxwell'in dördüncü denkleminin integral formu şu şekilde ifade edilebilir:
Maxwell'in dördüncü denkleminin diferansiyel formu:
Ya integral formdaki ya da diferansiyel formdaki bu dört denklemin tümüne Maxwell Denklemi denir.